评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生计算区域D的面积时，思路正确（使用二重积分计算面积），但存在关键逻辑错误：切点A的坐标计算错误。学生通过切线斜率相等得到方程 \(\frac{1}{x_0} = \frac{\ln x_0}{x_0}\)，解得 \(x_0 = e\)，但标准...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答在两次识别中均正确完成了求极值的全过程： 正确计算一阶偏导数并找到驻点(1,0)和(-1,0) 正确计算二阶偏导数A、B、C 正确运用判别式B²-AC判断极值类型 正确得出极大值e^(-1/2)和极小值-e^(-1/2...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生作答中，第一问的最终结果正确（a=1），但在推导过程中存在逻辑错误。具体来说，在第三步中，学生写为： \[ \lim_{x \to 0}\frac{x^{2}+x - [x - o(x^{2})]}{x^{2}} \] 这里对sinx的展开不...

-27 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"-27"，与标准答案完全一致。 根据题目条件，|A| = 3，交换A的第1行与第2行得到矩阵B。由于交换两行会使行列式变号，所以|B| = -|A| = -3。 已知伴随矩阵的性质：A* = |A|A⁻¹，所以|A*| =...

（-1，0） 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是(-1,0)，与标准答案完全一致。 虽然题目要求x<0，而点(-1,0)满足此条件，且计算过程（虽然未展示）应包含： 曲率公式 \(k=\frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}\) 对\(y=x^...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生两次识别结果均为 \(\frac{y^{3}+1}{2x}\)，而标准答案为 \(\sqrt{x}\)。 从微分方程 \(y dx + (x - 3y^2) dy = 0\) 的解法来看： 1. 该方程可整理为 \(\frac{dx...

0 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生答案：0 标准答案：0 得分：4分 理由：本题考察多元复合函数偏导数的计算。设 \(u = \ln x + \frac{1}{y}\)，则 \(z = f(u)\)。计算偏导数： \[\frac{\partial z}{\partial x...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生两次识别结果分别为\(\frac{\pi}{4}\)和π/4，与标准答案\(\frac{\pi}{4}\)完全一致。虽然第二次识别结果使用了非标准格式π/4，但根据题意这属于可接受的表达形式。由于答案正确且没有逻辑错误，因此得4分。 题目总...

1 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案为"1"，与标准答案一致。该题需要先通过隐函数求导法计算二阶导数，再代入x=0求值。虽然学生没有展示计算过程，但填空题只要求最终结果，且答案正确，因此得4分。 题目总分：4分

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答中只计算了矩阵A的特征值，但出现了关键错误：将特征多项式错误计算为(λ-1)λ^(n-1)，从而得到特征值λ₁=1, λ₂=0（重根）。而正确的特征多项式应为(λ-n)λ^(n-1)，特征值应为λ₁=n, λ₂=0（重根）。 学生没有计...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分5分） 学生通过初等行变换将矩阵A化为行最简形，得到： \(\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & -3\end{pmatrix}\) 由此得到基础解系为\((-1,2,...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答仅完成了部分步骤： 正确利用了已知条件 \(\frac{\partial f}{\partial y} = 2(y+1)\)，这是正确的起点。 尝试通过 \(f(y,y)\) 的条件求 \(\frac{\partial f}{...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答整体思路正确，主要步骤完整： 正确判断了 \(f(x) \leq x\) 的关系（虽然对后续解题并非必要，但不影响评分） 正确推导出 \(f_n(x) = \frac{x}{1+nx}\) 的表达式 正确写出 \(S_n ...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生通过构造辅助函数的方法证明了(I)的结论。虽然证明过程与标准答案使用积分中值定理不同，但思路正确且逻辑完整： 正确定义了φ(x) = ∫ₐˣ g(t)dt 正确得到φ'(x) = g(x) ∈ [0,1] 通过φ(x) ≥ φ(a) = 0...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答提供了两次识别结果，内容基本相同。我们以第二次识别结果为准进行评分。 优点： 正确计算了一阶和二阶偏导数（+2分） 正确得到了拉普拉斯算子结果 ∂²z/∂x² + ∂²z/∂y² = f''(eˣcos y)·e²ˣ（+2分） 正确建...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答分为两部分：第一次识别结果和第二次识别结果。整体思路正确，但存在计算错误和未完成的部分。 第一步：学生正确将积分区域转换为极坐标，得到 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{1}^{2}...

评分及理由 （1）分离变量求解微分方程（满分4分） 学生正确地从原方程得到 \((y^2+1)dy=(1-x^2)dx\)，并正确积分得到通解 \(\frac{1}{3}y^3+y=x-\frac{1}{3}x^3+C\)，且利用初始条件 \(y(2)=0\) 正确求出 \(C=\fra...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答中给出了两种识别结果，但核心思路都是正确的。第一种识别结果中，分母使用了等价无穷小替换 \(\ln(1+\frac{1}{x}) \sim \frac{1}{x}\)，然后对分子应用了洛必达法则，得到极限 \(\lim_{x\to+\i...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生两次识别结果均为 \(y = -\frac{2}{\pi}x + \frac{\pi}{2}\)，与标准答案完全一致。虽然解题过程未展示，但最终答案正确，根据填空题评分规则，答案正确即得满分。识别结果中无逻辑错误或计算错误，符合给分标准。 ...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生两次识别结果均为 \(\frac{\pi}{4}\)，而标准答案为 \(\frac{3}{8}\pi\)。计算过程应为： \(\int_{-\infty}^{1} \frac{1}{x^{2}+2x+5} dx = \int_{-\inf...