评分及理由 （1）连续性判断得分及理由（满分0分）学生答案中未讨论函数在x=0处的连续性，但标准答案中此部分是为了说明函数在整个区间上连续，从而确保极值分析的有效性。由于学生后续分析中实际上考虑了端点值，且未因连续性缺失导致逻辑错误，此处不单独设分，故不扣分。 （2）导数计算与单调性分...

评分及理由 （1）得分及理由（满分6分） 学生作答中第1部分存在多处逻辑错误： 错误地将β描述为“Ax=0的基础解系”，而题目中明确是ATx=0的基础解系，这是概念混淆。 错误地写出“4 - r(AT)=1”，实际上应为4 - r(AT)=1，但学生写成了“-r(AT)=-3”...

评分及理由 （1）证明极限存在部分（满分6分） 得分：0分 理由：学生从错误的前提开始推导，错误地假设了递推关系式 \(x_{n+1} = \frac{4}{x_n + \sqrt{3-x_n}}\)，而题目中给出的条件是 \(x_n + \frac{4}{x_{n+1}^2} < 3\...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生使用了极坐标变换的方法，思路正确。但在第一步积分表达式中，被积函数写为 \(x^2 + 2x + \sqrt{3}y\)，与题目中的 \(x^2 + 2xy + \sqrt{3}y\) 不符，这里“2x”应为“2xy”的识别错误。由于识别错...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答仅给出了体积公式 \(V = \pi r^{2}h_{1}+\frac{2\pi r^{2}}{3}h_{2}\)，这与标准答案中的体积公式一致，说明学生对问题中的几何结构理解正确。然而，题目要求的是在体积为定值的条件下求用料最少时圆柱...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答的整体思路与标准答案不同，但方法正确，使用了换元法和分部积分法，逻辑清晰。在第一步换元中，令 \( u = x^2 + 1 \)，但后续分部积分时设 \( v = \arctan x \)，\( dw = \ln(1 + x^2)d(x...

评分及理由 （1）连续性判断得分及理由（满分2分） 学生正确计算了右极限：\(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1\)，并指出\(f(0) = 1\)，说明函数在\(x=0\)处连续。但未明确说明函数在\([0,+\infty)\)上连续。由于题目要求最大值最小值，连续性判...

评分及理由 （1）得分及理由（满分6分） 学生作答中第1问存在多处逻辑错误： 错误1：将题目条件“β是\(A^T x = 0\)的基础解系”误写为“β是\(Ax = 0\)的基础解系”，这是对题目条件的根本性误解。 错误2：在推导秩的关系时，错误地写出“\(4 - r(A^T)...

评分及理由 （1）证明极限存在部分（满分6分） 得分：0分 理由：学生一开始就错误地假设了递推关系式 \(x_{n+1} = \frac{4}{3-x_n}\)，但题目中给出的条件是 \(x_n + \frac{4}{x_{n+1}^2} < 3\)，这是一个不等式关系，而不是递推公式。...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答采用极坐标方法计算二重积分，思路正确。但在以下方面存在错误： 被积函数识别错误：原题为 \(x^2 + 2xy + \sqrt{3}y\)，学生误写为 \(x^2 + 2x + \sqrt{3}y\)，导致后续计算对象错误。 ...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答仅给出了体积公式的表达式：$V = \pi r^{2}h_{1}+\frac{2\pi r^{2}}{3}h_{2}$，这与标准答案中的体积公式一致。然而，题目要求的是在体积为定值的条件下求用料最少时圆柱高、圆柱半径和圆锥高的比例，这需...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答的整体思路与标准答案一致，采用分部积分法，并正确选择了分部积分的顺序。在计算过程中，学生正确计算了关键步骤，包括： 正确设 \( u = \arctan x \)，\( dv = x \ln(1+x^2) dx \)，并...

评分及理由 （1）连续性判断得分及理由（满分2分） 学生答案中未讨论函数在x=0处的连续性，但标准答案中连续性的判断是解题的重要步骤。由于学生未进行连续性分析，扣1分。得分：1分 （2）导数计算得分及理由（满分3分） 学生正确计算了导数：f'(x) = -e⁻ˣ + (1/x²)e⁻¹...

评分及理由 （1）得分及理由（满分6分） 学生作答中第一问存在多处逻辑错误： 错误1：学生说“已知β是\(Ax = 0\)的基础解系”，但题目中明确给出β是\(A^T x = 0\)的基础解系，这是概念混淆，属于严重逻辑错误。 错误2：学生写“\(\vert4 - r(A^{T...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答存在多处逻辑错误： 第一步推导中，将原条件 \(x_n + \frac{4}{x_{n+1}^2} < 3\) 误写为 \(x_{n+1} + \frac{4}{x_{n+1}} < 3\)，导致后续推导完全偏离正确方向。 下...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生采用极坐标变换的方法计算二重积分，思路正确。具体分析如下： 积分区域识别：学生正确识别出区域D由圆x²+y²≤4和抛物线y≥√3x²围成，但在极坐标下将θ范围确定为[π/3, 2π/3]存在错误。实际上，边界y=√3x²在极坐标下为r s...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生仅给出了体积公式 \(V = \pi r^{2}h_{1}+\frac{2\pi r^{2}}{3}h_{2}\)，这与标准答案中的体积表达式一致，表明学生正确建立了体积约束条件。然而，题目要求的是在体积为定值的情况下求用料最少时圆柱高、圆...

评分及理由 （1）得分及理由（满分12分） 学生作答的整体思路与标准答案一致，都是采用分部积分法，先处理积分\(\int x\ln(1+x^2)dx\)，然后将其结果用于原积分。学生正确地将原积分写为\(\frac{1}{2}\int \arctan x \ln(1+x^2)d(x^2+...

评分及理由 （1）连续性判断得分及理由（满分2分） 学生计算了极限 \(\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1\) 并与 \(f(0) = 1\) 比较，正确得出函数在 \(x=0\) 处连续。此处得2分。 （2）导数计算得分及理由（满分3分） 学生正确计算了导数 \(f'...

评分及理由 （1）得分及理由（满分6分） 学生作答中第一问存在多处逻辑错误： 错误地将β描述为“Ax=0”的基础解系（应为A^T x=0） 出现“γ(A^T)=-5”等无意义的符号 推理过程混乱，没有正确运用线性无关的定义进行证明 没有正确使用基础解系的性质和秩的关系 ...