评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答存在以下问题： 第一步求导错误：学生写的是 \( f(x) = -\sqrt{1+x^2} + \sqrt{1+x^2} - 2x \)，这明显是错误的表达式，可能是识别错误或计算错误。正确的导数应为 \( f'(x) ...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答整体思路正确，利用了对称性简化积分，正确地将原积分化为2倍的区域D1上x²的积分，并正确设置了积分限。计算过程中，对y积分部分正确，得到2∫x²(√(2-x²)-x²)dx。在计算2∫x²√(2-x²)dx时，使用了三角代换x=√...

评分及理由 （1）积分求解过程得分及理由（满分5分） 学生正确对 \(f_{xy}''(x,y)=2(y+1)e^x\) 进行两次积分，得到 \(f(x,y)=(y^2+2y)e^x+xe^x\)，与标准答案一致。但在偏导数计算中存在一处错误：第二步对 \(y\) 积分时，学生写为 \(...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生正确写出了区域D的定义，得1分。 （2）得分及理由（满分10分） 学生正确计算了绕x轴旋转体积V₁，得3分。 （3）得分及理由（满分10分） 学生正确计算了绕y轴旋转体积V₂，得3分。虽然学生使用了二重积分方法计算V₂，与标准答案使用的...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答的整体思路正确，使用了泰勒展开的方法，与标准答案方法一思路一致。但在展开过程中存在以下问题： 学生将题目中的函数误写为 \(f(x)=x+a(\sin x)+bx(\tan x)\)，而原题是 \(f(x)=x+a \ln (1+x)...

21 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"21"，与标准答案完全一致。根据题目条件，矩阵A的特征值为2、-2、1，B = A² - A + E。由于行列式等于特征值的乘积，且B的特征值可以通过A的特征值计算得到：对于特征值λ，B的特征值为λ² - λ + 1。因此：...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为：$-\frac{1}{3}dx - \frac{2}{3}dy$ 标准答案为：$-\frac{1}{3}(d x+2 d y)$ 两种表达形式实质相同： $$-\frac{1}{3}(d x+2 d y) = -\frac{1}{3}...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为：$e^{-2x}+2e^{x}$，与标准答案 $e^{-2 x}+2 e^{x}$ 完全一致。该函数满足微分方程 $y^{\prime \prime}+y'-2 y=0$，且在 $x=0$ 时，$y(0)=1+2=3$，$y'(...

2 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"2"，与标准答案一致。题目要求计算$f(1)$的值，已知$\varphi(x)=\int_{0}^{x^{2}} x f(t) d t$，$\varphi(1)=1$，$\varphi'(1)=5$。正确解法需要先对$\varp...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生第一次识别结果为空，无法判断正确性；第二次识别结果为 $n!(\ln 2)^{n - 2}$。标准答案为 $n(n-1)(\ln 2)^{n-2}$。 学生的答案与标准答案不一致。考虑函数 $f(x) = x^2 \cdot 2^x$，在 $...

48 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为"48"，与标准答案完全一致。该题是参数方程求二阶导数问题，需要计算\(\frac{d^2y}{dx^2}\)在\(t=1\)处的值。虽然学生没有展示计算过程，但最终答案正确，按照填空题的评分标准，应给予满分。 题目总分：4分

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答分为两次识别，我们以两次识别中正确部分为准进行评分。 正确部分： 正确计算了矩阵A和B的特征多项式，得到特征值均为n（单根）和0（n-1重根）。 正确指出A是实对称矩阵，因此可对角化。 对于B，正确计算了0E-...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生作答中给出了正确的基础解系(-1,2,3,1)ᵀ，虽然初等行变换过程表述不够规范（如r₁-r₃、r₃-4r₁等符号使用不规范），但最终得到了与标准答案相同的行最简形矩阵，并得出了正确的基础解系。考虑到核心结果正确，给4分（扣1分是因为变换过程...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答存在多处逻辑错误： 第一处识别中"F(x-y)"和第二处识别中"f(x-y)"明显为识别错误，应为f(x,y)，但根据上下文可判断为误写，不扣分 积分过程错误：由∂f/∂y=2(y+1)应得f(x,y)=y²+2y+φ(x...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答中未提供任何解答内容，无法判断其解题过程和结果是否正确。根据评分规则，未作答的题目应得0分。 题目总分：0分

评分及理由 （I）得分及理由（满分5分） 学生正确证明了两个不等式。对于0 ≤ ∫ₐˣ g(t)dt，学生通过∫ₐᵃ g(t)dt = 0和积分的单调性得到，方法正确。对于∫ₐˣ g(t)dt ≤ x-a，学生使用了积分中值定理（识别为拉格朗日中值定理，实为积分中值定理），由0 ≤ g(...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答有两个识别版本，我们以第二个识别版本为主进行评分，因为它更清晰完整。 第一步：变量代换和偏导数计算（满分3分） 学生正确进行了变量代换 \( u = e^x \cos y \)，并计算了一阶和二阶偏导数。公式(1)和(2)的写...

评分及理由 （1）对称性应用部分（满分2分） 学生正确识别了积分区域关于y=x对称，并应用轮换对称性将原积分转化为两个积分的平均值。思路正确，表述清晰。得2分。 （2）极坐标变换部分（满分3分） 学生正确进行了极坐标变换，确定了积分区域在极坐标下的表示（0≤θ≤π/2，1≤r≤2），并...

评分及理由 （1）分离变量与通解（满分3分） 学生正确将原方程变形为变量可分离形式，并正确积分得到通解 \(y+\frac{1}{3}y^{3}=x-\frac{x^{3}}{3}+C\)，且利用初值条件 \(y(2)=0\) 正确求出常数 \(C=\frac{2}{3}\)。此部分步骤...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 本题满分10分，学生最终答案正确，但过程中存在两处逻辑错误： 第一次识别中，学生将原题中的 \(e^{\frac{1}{t}}\) 误写为 \(e^{\frac{t}{x}}\)，这是一个严重的逻辑错误，导致后续推导对象错误。但第二次识别...