评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生思路正确，从A³=0推出|A|=0，然后计算行列式得到a³=0，从而a=0。虽然行列式计算过程与标准答案略有不同（学生用了初等变换化简行列式），但结果是正确的。得5分。 （2）得分及理由（满分6分） 学生将原方程变形为(A-E)X(A²-E...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生答案基本正确，但存在一些细节问题： 正确求出导数 \(f'(x) = (2x-1)\sqrt{1+x^2}\) 并找到驻点 \(x=\frac{1}{2}\) 正确分析单调性：在 \((-\infty,\frac{1}{2})\)...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答的整体思路正确，利用了积分区域的对称性简化了被积函数，将原积分化为只含 \(x^2\) 的二重积分，这是正确的第一步。然后学生选择使用极坐标变换进行计算，虽然方法不同于标准答案的直角坐标直接积分，但思路正确且最终结果正确。在极坐标变换中...

评分及理由 （1）求f_x(x,y)过程得分及理由（满分3分） 学生首先对f_{xy}''(x,y)=2(y+1)e^x关于y积分得到f_x'(x,y)=e^x(y+1)^2+g(x)，这一步思路正确。然后利用条件f_x'(x,0)=(x+1)e^x确定g(x)=xe^x，得到f_x'(...

评分及理由 （1）V₁计算部分得分及理由（满分4分） 学生正确写出V₁的旋转体体积公式，使用降幂公式计算积分，过程完整且结果正确。得4分。 （2）V₂计算部分得分及理由（满分4分） 学生正确写出绕y轴旋转的柱壳法公式，使用分部积分法计算积分，过程完整且结果正确。得4分。 （3）求解A...

评分及理由 （1）a的值得分及理由（满分2分） 学生得出a=-1，与标准答案一致。推导过程正确：由分子展开式中x的系数为1+a，为使极限存在且等于1，必须有1+a=0，故a=-1。此处逻辑正确，得2分。 （2）b的值得分及理由（满分2分） 学生得出b=-1/2，与标准答案一致。推导过程...

21 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是21，与标准答案完全一致。根据题目要求，填空题正确则给满分4分。虽然学生没有展示计算过程，但最终结果正确，因此得4分。 题目总分：4分

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生答案为：$-\frac{1}{3}dx-\frac{2}{3}dy$，标准答案为：$-\frac{1}{3}(dx+2dy)$。将学生答案展开后为$-\frac{1}{3}dx-\frac{2}{3}dy$，与标准答案$-\frac{1}{...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生答案为 $2e^{x}+e^{-2x}$，标准答案为 $e^{-2x}+2e^{x}$。两者仅常数项顺序不同，数学表达式等价。根据禁止扣分规则第1条，字符顺序差异不视为错误。答案满足微分方程 $y''+y'-2y=0$ 且在 $x=0$ 处取得...

2 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是2，与标准答案一致。题目要求计算f(1)的值，已知φ(x)=∫₀ˣ² x f(t) dt，φ(1)=1，φ'(1)=5。通过计算φ'(x)并代入x=1的条件，可以解得f(1)=2。学生直接写出正确答案，没有展示解题过程，但答案正确...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答的第二次识别结果为：$n(n - 1)\cdot(\ln2)^{n - 2}\cdot2^{x}$。标准答案为：$n(n-1)(\ln 2)^{n-2}$。 对比发现，学生答案中多了一个因子 $2^{x}$，而题目要求的是在 $x=0...

48 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为"48"，与标准答案完全一致。该题考查参数方程的二阶导数计算，学生直接给出正确数值结果，表明计算过程正确无误。根据评分要求，答案正确应给满分4分。 题目总分：4分

评分及理由 （1）求矩阵A的特征值（满分2分） 学生正确计算了矩阵A的特征多项式，得到特征值λ₁=n, λ₂=⋯=λₙ=0。得2分。 （2）求矩阵B的特征值（满分2分） 学生正确计算了矩阵B的特征多项式，得到特征值λ₁=n, λ₂=⋯=λₙ=0。得2分。 3）证明两个矩阵相似（满分7...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分4分） 学生给出了正确的行简化阶梯形矩阵，并正确得出基础解系为 \([-1,2,3,1]^T\)，与标准答案一致。因此，本小题得满分4分。 （Ⅱ）得分及理由（满分7分） 学生正确设 \(B = [\beta_1, \beta_2, \bet...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 本题主要考察利用偏微分方程求解函数表达式，以及旋转体体积的计算。学生作答中： 正确通过偏积分得到 \( f(x,y) = (y+1)^2 + g(x) \) 的形式（2分） 正确利用条件 \( f(y,y) = (y+1)^2 - (...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生使用构造函数φ(x)=∫ₐˣg(t)dt-x+a的方法证明，思路与标准答案不同但正确。通过分析φ'(x)=g(x)-1≤0得到φ(x)单调递减，结合φ(a)=0和φ(b)≥0，正确推导出0≤∫ₐˣg(t)dt≤x-a。证明过程完整，逻辑严密，...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生解答过程完整，思路与标准答案一致。具体步骤包括： 正确计算一阶和二阶偏导数（步骤1-2） 正确得到拉普拉斯算子的简化形式（步骤3） 正确建立微分方程并求解（步骤4-5） 正确利用初始条件确定常数（步骤6） ...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生正确使用了轮换对称性，将原积分转化为 \(\frac{1}{2}\iint_D \sin(\pi\sqrt{x^2+y^2})dxdy\)，这一步与标准答案一致，思路正确。 在极坐标变换部分，学生正确写出积分区域为 \(0 \leq \th...

评分及理由 （1）微分方程求解部分（满分4分） 学生正确地将原方程整理为 \((y^2+1)y' = 1-x^2\)，并正确分离变量得到 \((1+y^2)dy = (1-x^2)dx\)，积分得到通解 \(y+\frac{1}{3}y^3 = x-\frac{1}{3}x^3 + C\...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答中，第一步存在逻辑错误：原分母为 \(x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\)，但学生在应用洛必达法则时错误地将分母写为 \(x\)，这导致后续推导基于错误的分母形式。尽管后续步骤（换元和泰勒展开）在方法...