评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生使用了极坐标变换方法，这是正确的思路。但是存在以下逻辑错误： 第一次识别中积分下限为π/9，这明显是错误的，应该是π/4 极坐标变换中，被积函数化简为r(cosθ+sinθ)是正确的 区域D的边界条件(x²+y²)³≤y⁴在极...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生正确使用了一阶线性微分方程的解法，通过积分因子法求解。计算过程正确，得到了通解形式，并利用初始条件确定了常数C=0，最终得到特解 \(y(x)=\sqrt{x} \cdot e^{\frac{1}{2}x^{2}}\)，这与标准答案 \(y(...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答给出了完整的分步积分过程，包括部分分式分解和逐项积分。分解形式与标准答案一致：\(\frac{-2}{x-1} + \frac{3}{(x-1)^2} + \frac{2x+1}{x^2+x+1}\)。积分计算正确： \(\int...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生给出了分段导数表达式： - 对于x≤0部分：f'(x)=e^x(x+1)，正确。 - 对于x>0部分：学生写的是(2lnx+2)·x^{2x}，而标准答案是2e^{2xlnx}(lnx+1)。注意到x^{2x} = e^{2xlnx}，且(2...

4 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是4。根据题目要求，我们需要计算 |A₁₁ - A₁₂| 的值，其中 A₁₁ 和 A₁₂ 分别是矩阵 A 中元素 a₁₁ 和 a₁₂ 的代数余子式。 根据代数余子式的性质，A₁₁ - A₁₂ 实际上等于将矩阵 A 的第一行替换为...

1/4(1-cos1) 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是 \(\frac{1}{4}(1-\cos 1)\)，而标准答案是 \(\frac{1}{4}(\cos 1-1)\)。这两个表达式在数值上是相等的，因为 \(\frac{1}{4}(1-\cos 1) = ...

1/2 ln3 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生答案"1/2 ln3"与标准答案"\(\frac{1}{2} \ln 3\)"完全一致。在数学表达中，"1/2 ln3"通常被理解为\(\frac{1}{2} \ln 3\)，这与标准答案等价。该答案表明学生正确计算了曲线\(y...

z 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"z"，而标准答案是"y f(y²/x)"。根据题目条件，z = y f(y²/x)，因此学生的答案"z"实际上就是y f(y²/x)的简写形式。从数学角度看，学生的答案与标准答案是等价的，因为z本身就等于y f(y²/x)。...

3Π/2 + 2 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案为“3π/2 + 2”，这与标准答案“\(\frac{3 \pi}{2}+2\)”完全一致。该题考查参数方程求切线截距，学生正确计算出对应点坐标、切线斜率，并得到y轴截距。答案书写规范，计算无误，因此得满分4分...

4e^2 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为"4e^2"，与标准答案"4 \(e^{2}\)"在数学含义上完全一致，都表示\(4e^2\)。该题是填空题，答案唯一且正确，因此得满分4分。 题目总分：4分

评分及理由 （1）求a的值（满分3分） 得分：3分 理由：学生正确写出系数矩阵A，并根据标准型只有两个非零项推出r(A)=2，从而|A|=0，计算行列式得到a=2。过程与标准答案一致，计算正确。 （2）求特征值（满分3分） 得分：3分 理由：学生正确计算特征多项式并求出特征值6，-3，...

评分及理由 （I）得分及理由（满分5分） 学生正确指出由α₃=α₁+2α₂可得|A|=0，从而r(A)<3。同时指出A有3个不同特征值，因此r(A)>1，最终得到r(A)=2。虽然证明过程与标准答案不同（标准答案使用了相似对角化），但思路正确且结论正确。考虑到证明过程简洁但逻辑完整，给满分5分。 （II）得分及理由（满分6分） 学生...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答基本正确，主要步骤与标准答案一致： 正确写出切线方程和法线方程（1分） 正确求出Y_P和X_P的表达式（2分） 正确建立X_P=Y_P的微分方程（1分） 正确进行变量代换u=y/x（1分） 正确求解微分方程得到通解...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答思路正确：识别出区域D关于y轴对称，从而利用对称性消去奇函数项（虽然第一次识别中写的是“x+2x为奇函数”，但结合上下文和第二次识别可判断是“2x为奇函数”的误写，不扣分），并将积分拆分为∬x²dxdy + ∬dxdy。极坐标变换正确，...

评分及理由 （I）得分及理由（满分5分） 学生正确使用了极限保号性得出在0的右邻域存在点c使f(c)<0，并结合f(1)>0和连续函数零点定理证明了f(x)=0在(0,1)内至少存在一个实根。思路完整，逻辑正确。但标准答案中明确写出了f(0)=0（由极限条件可得），学生未明确写出这一点，不过这不影响主要证明逻...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答给出了完整的解题过程：先对原方程求导得到一阶导数表达式，令y'=0求得驻点x=±1；然后代入原方程得到对应y值(1,1)和(-1,0)；接着求二阶导数表达式，代入驻点计算y''的值判断极值类型；最后正确得出极大值y(1)=1和极小值y(-...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答与标准答案思路完全一致，均通过将极限转化为定积分，然后利用分部积分法计算。具体步骤包括： 正确识别极限形式并转化为定积分：\(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 第一次识别结果中，一阶导数计算正确，得5分。第二次识别结果中，一阶导数计算也正确，得5分。由于两次识别中至少有一次正确，根据规则不扣分，最终得5分。 （2）得分及理由（满分5分） 第一次识别结果中，二阶导数表达式展开错误（缺少混合偏导项且符号混...

评分及理由 （1）第1次识别结果得分及理由（满分10分） 第1次识别结果中，学生使用了换元法，但换元过程存在错误。原积分应为 \(\int_0^x \sqrt{x - t e^t} dt\)，但学生换元后写成了 \(\int_0^x \sqrt{a} \cdot e^{-u} du\)，...

-1 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为"-1"，与标准答案一致。根据特征向量的定义，若α是矩阵A的特征向量，则存在特征值λ使得Aα = λα。通过计算可得： Aα = [4×1 + 1×1 + (-2)×2, 1×1 + 2×1 + a×2, 3×1 + 1×1 + (-...