(1,5] 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为“(1,5]”，与标准答案完全一致。根据幂级数的收敛半径和收敛区间的性质，由已知条件可确定收敛半径为2，中心点x=3时，收敛区间为(1,5]。由于在x=0处收敛可推得在x=-4处发散，进一步确定右端点x=5处收敛，左端点...

y=x+1 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"y=x+1"，这与标准答案完全一致。该题是填空题，要求写出曲线在点(0,1)处的切线方程。学生答案正确，没有逻辑错误，计算过程虽然未展示，但最终结果正确，因此得满分4分。 题目总分：4分

y=1/x 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案为 \(y=1/x\)，这与标准答案 \(y=\frac{1}{x}\) 完全一致。该答案满足微分方程 \(xy'+y=0\)（验证：\(y'=-1/x^2\)，代入得 \(x \cdot (-1/x^2) + 1/x =...

令p=x-1，q=y-1，然后化为极坐标积分，积分函数为rcosθ-rsinθ，内积分上下限为根号2和0，外积分上下限四分之五π和四分之一π，易得结果为负2根号2 评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答得4分。理由如下： 学生正确进行...

评分及理由 （1）微分方程求解部分（满分4分） 学生作答中，第一次识别将原方程误写为 \(y'' - \frac{1}{x}y' + \frac{2}{x^2} = 0\)，但第二次识别中明确指出原方程为 \(xy'' - y' + 2 = 0\)，并正确使用变量代换 \(p = y'\...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生答案中一阶偏导数 \(\frac{\partial z}{\partial x} = f_{1}' + f_{2}' + yf_{3}'\) 与标准答案完全一致，计算正确。得5分。 （2）得分及理由（满分5分） 学生答案中二阶混合偏导数表达...

评分及理由 （1）换元步骤得分及理由（满分2分） 学生正确进行了换元：令 \( t = \sqrt{\frac{1+x}{x}} \)，并得到 \( x = \frac{1}{t^2-1} \)。此步骤与标准答案一致，得2分。 （2）分部积分步骤得分及理由（满分3分） 学生正确应用分部...

评分及理由 （1）得分及理由（满分9分） 学生作答使用了等价无穷小替换和泰勒展开的方法，思路与标准答案一致且正确。具体步骤： 正确使用等价无穷小：\(1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^2\)，\(\sin^4 x \sim x^4\)，将原式化为\(\lim_{...

2 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"2"，与标准答案完全一致。根据题意，已知 \(\alpha\beta^{\top} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\...

e的负e分之2次方 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生答案写的是"e的负e分之2次方"，这实际上就是标准答案 \( e^{-\frac{2}{e}} \) 的中文描述。虽然表达形式不同，但数学含义完全一致。根据打分要求中的"思路正确不扣分"原则，即使表达形式与标准答案不同，只要...

-3 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"-3"，与标准答案完全一致。题目要求计算由隐函数方程确定的二阶导数在特定点的值，学生直接给出了正确的数值结果。虽然作答过程没有展示，但最终答案正确，根据填空题的评分标准，应给予满分。 题目总分：4分

0 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"0"，与标准答案一致。该题考查的是含振荡因子的定积分极限问题，根据Riemann-Lebesgue引理，当被积函数在积分区间上绝对可积时（本题中e^{-x}在[0,1]上连续，故绝对可积），含sin(nx)或cos(nx)的积...

-2 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"-2"，与标准答案完全一致。该题是填空题，要求计算使反常积分等于1的k值。计算过程需要将积分拆分为两部分： $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{k|x|} dx = \int_{-\infty}^{0...

y=2x 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是 y=2x，与标准答案完全一致。 该题需要计算曲线在 t=1 处的切线方程。解题思路应为： 计算 t=1 时对应的点 (x₀, y₀) 计算导数 dy/dx 在 t=1 处的值（即切线斜率 k） 写出切线方程 y - y...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分中的部分） 第1次识别结果没有给出(I)的证明，但第2次识别结果给出了完整的递推法证明：正确建立了递推关系 |A_n| = 2a|A_{n-1}| - a²|A_{n-2}|，验证了初始条件 |A₁|=2a, |A₂|=3a²，并用数学归纳法证明了...

评分及理由 （1）拉格朗日函数构造得分及理由（满分2分） 学生构造的拉格朗日函数为：$F = x^{2}+y^{2}+z^{2}+\lambda_{1}(z - x^{2}-y^{2})+\lambda_{2}(x + y+z - 4)$，与标准答案的构造方式在符号上有所不同（学生用$z...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 第一次识别结果： 第一行积分区域划分有误：∫₀^(1/x) dx 应为 ∫₀^(1/2) dx，属于逻辑错误，扣2分。 第二行积分上下限错误：∫₍₁/₂₎¹ dx 应为 ∫₍₁/₂₎² dx，属于逻辑错误，扣1分。 第三行积分计...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 第一次识别结果： 代换正确：令 \( t = \arcsin x \)，积分限变为 \( 0 \) 到 \( \frac{\pi}{2} \)，正确。 积分表达式：\( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} t \sin^...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答分为两个识别结果，但内容实质相同。我们按步骤分析： 第一步：求解微分方程得到 \(x = \ln(1+t^2)\)。学生正确分离变量并积分，利用初始条件确定常数 \(C=1\)，得到正确结果。此步无误。 第二步：计算一阶导数 ...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生使用了泰勒展开法求解极限，思路正确且计算过程完整。具体步骤： 对sin(sin x)进行泰勒展开：sin u = u - u³/6 + o(u³)，代入u=sin x得到sin(sin x) = sin x - (sin³x)/6 +...