评分及理由 （1）得分及理由（满分5.5分） 学生正确写出了似然函数和对数似然函数，并通过对数似然函数求导得到最大似然估计量 \(\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (X_i-\mu_0)^2\)。推导过程完整，与标准答案一致。得5.5分。 ...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答中完全没有涉及(X,Y)联合分布的求解，只给出了相关系数的计算过程。第一问要求求(X,Y)的分布，但学生没有给出任何相关计算或结果，因此该问得0分。 （2）得分及理由（满分3分） 学生作答中完全没有涉及Z=XY的分布求解，只给出了相关系...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5.5分） 学生第一次识别结果中给出的特征值正确（0,1,-1），但特征向量完全错误，且没有给出正确的推导过程。第二次识别结果中特征值正确，但特征向量表示混乱（将特征向量标记为λ₁等符号错误），且给出的特征向量与标准答案不符。虽然学生提到了A是对称矩阵（...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生作答因图片识别问题未能提取出有效解答内容，无法判断其解题过程和答案是否正确。根据评分规则，对于无法识别的内容不能给予分数。因此本题得0分。 （2）得分及理由（满分6分） 同样由于图片识别问题，无法获取学生关于第二问的解答内容，无法判断其解题...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 学生作答采用了两次识别结果，其中第二次识别结果基本正确。分析如下： 学生正确将二重积分化为累次积分：\(\int_{0}^{1}x dx\int_{0}^{1}y f_{x}(x,y)dy\) 在第一次分部积分时，对内层积分\(\int_{0...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生正确证明了不等式 \(\frac{1}{n+1} < \ln(1+\frac{1}{n}) < \frac{1}{n}\)。具体过程如下： - 定义了 \(h(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{1+x}\)，计算导数 \(h'(x) = \frac{x}{(1+x)^2} > 0\)（在 \(x \in (0,1)\)），得出 \(h(x)\) 单调递增，从而 \(\ln(1+x) > \frac{x}{1+x}\)。 - 定义了 \(g(x) = \ln(1+x...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答存在以下问题： 定义函数混乱，从识别结果看学生试图构造辅助函数t(x)=x/arctanx，但此函数与题目要求的f(x)=k arctan x - x无直接关联，属于错误思路 导数计算错误，对g(x)的求导过程复杂且不正确 最终结论错...

评分及理由 （1）一阶偏导数部分得分及理由（满分2分） 学生第一行写出：$\frac{\partial z}{\partial x}=f_{1}'y+f_{2}'yg'(x)$，这与标准答案$\frac{\partial z}{\partial x}=f_{1}·y+f_{2}·yg'(...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 第1次识别结果：学生作答内容为 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln e^{x}-1}{x}$，这与原题 $\lim _{x \to 0}(\frac{\ln (1+x)}{x})^{\frac{1}{e^{x}-1}}$ 完全不...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 得分：0分 理由： 第一次识别结果为"$27x^{3}y^{9}$"，这与标准答案"$\mu^{3} + \mu\sigma^{2}$"完全不同 该表达式在概率论上下文中没有意义，既没有体现二维正态分布的特性，也没有正确计算$E(XY^{2})...

1 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"1"，与标准答案一致。 该题考查的是二次型在正交变换下的标准形问题。原二次型对应的矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & a & 1 \\ a & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{p...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答因图片内容问题无法识别有效答案。根据题目要求，若图片识别结果为无效内容或无作答内容，则视为未作答。本题为填空题，标准答案为π，学生未提供任何有效答案，故得0分。 题目总分：0分

4 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"4"，而标准答案是"0"。题目要求计算的是二阶偏导数 \(\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}}\) 在点 (0,2) 处的值。 分析：函数 \(F(x, y)=\int_{0}^{y} \...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生第一次识别结果为 \(\sin x e^x\)，与标准答案 \(y=\sin x e^{-x}\) 对比，指数符号存在差异（应为 \(e^{-x}\) 但写作 \(e^x\)）。由于指数符号错误会导致函数不满足原微分方程，属于逻辑错误，...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生两次识别结果分别为 \(\ln(1+\frac{x}{2})\) 和 \(\ln(1 + x)\)，而标准答案为 \(\ln(\sqrt{2}+1)\)。计算弧长的正确步骤应为：先求导得 \(y' = \tan x\)，再代入弧长公式 \(...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5.5分） 学生正确写出了似然函数和对数似然函数，并通过求导得到了最大似然估计 \(\hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \mu_0)^2}{n}\)，这与标准答案一致。虽然第一行似然函数表达式中出现了"t...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生答案中只给出了条件概率公式和相关系数公式，没有给出(X,Y)的联合分布律。根据标准答案，第一问要求写出完整的联合分布表，但学生完全没有涉及这部分内容，因此该问得0分。 （2）得分及理由（满分4分） 学生答案中完全没有涉及Z=XY的分布计算，...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5.5分） 学生第一次识别结果中，对特征值和特征向量的求解存在严重错误。例如，将矩阵乘法错误理解为向量运算，且给出的特征向量维度错误（二维而非三维）。第二次识别结果中，虽然正确识别出特征值为0,1,-1，但给出的特征向量不正确（如λ₁=(0,0,0)不能...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 得0分。因为学生作答图片无法识别，没有提供任何有效解答内容，无法判断解题思路或计算过程是否正确。 （2）得分及理由（满分6分） 得0分。同样由于图片无法识别，学生没有提供将β₁, β₂, β₃由α₁, α₂, α₃线性表出的解答过程。 题目总...

评分及理由 （1）得分及理由（满分11分） 第一次识别结果存在多处符号错误和逻辑混乱： 将原积分写为\(\int xdx\int yd t_{x}(x,y)dy\)，被积函数符号错误（应为\(xyf_{xy}''(x,y)\)） 分部积分过程出现\(t_{x}'(xy)\)...