评分及理由
（1）得分及理由（满分6分）
学生正确求解微分方程，得到正确解 \(y = -\frac{1}{2}\ln x + \frac{1}{4}x^2\)。虽然计算过程中积分公式的写法与标准答案略有不同（标准答案用 \(e^{\int \frac{2}{x}dx}\)，学生用 \(...
评分及理由
（1）得分及理由（满分10分）
该学生作答整体思路正确，能够正确运用导数定义和等价无穷小替换，并最终得出正确结果 \( f'(1) = -1 \)。但在推导过程中存在以下问题：
学生没有先利用连续性求出 \( f(1) = 0 \)，而是直接对表达式进行拆分。虽然最终结...
-1
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生给出的答案是"-1"，与标准答案一致。
这道题需要逆向还原矩阵A的初等变换过程：
已知最终矩阵B = \(\begin{pmatrix}-2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatri...
π/12
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生答案：π/12，与标准答案完全一致。
极坐标下求面积公式为 \( S = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} r^2 d\theta \)。本题中 \( r = \sin 3\theta \)，积分...
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生作答的两次识别结果均为：$C_{1}+e^{x}(C_{2}\cos 2x + C_{3}\sin 2x)$，其中 $C_{1},C_{2},C_{3}$ 为任意常数。
该结果与标准答案 $C_{1}+e^{x}(C_{2} \cos...
8√3π/9
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生给出的答案为：8√3π/9
标准答案为：\(\frac{8 \sqrt{3} \pi}{9}\)
比较两者：
学生答案中的"8√3π/9"与标准答案"\(\frac{8 \sqrt{3} \pi}{9}\)...
-31/32
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生给出的答案是"-31/32"，与标准答案"-\frac{31}{32}"完全一致。虽然学生没有展示解题过程，但填空题通常只要求最终结果正确即可得分。由于答案完全正确，按照填空题评分标准，应给予满分5分。
题目总分：5分
e^(1/2）
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生答案：e^(1/2)
标准答案：√e
评分分析：
从数学表达式来看，e^(1/2) 与 √e 是完全等价的，都表示 e 的平方根
学生使用了指数形式表示，这是完全正确的数学表达方式
虽然没有展示解题过程，但最...
5/8
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生给出的答案为"5/8"，与标准答案$\frac{5}{8}$完全一致。该填空题要求计算条件概率$P(B \cup C | A \cup B \cup C)$，标准答案确实为$\frac{5}{8}$。学生直接写出了正确答案，没有展...
2/3
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生答案：2/3
标准答案：5/8
理由：本题要求计算条件概率 \( P(B \cup C \mid A \cup B \cup C) \)。根据条件概率公式，这等于 \( \frac{P((B \cup C) \cap (A \...
1/3
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生给出的答案是"1/3"，这与标准答案完全一致。由于X和Y相互独立，且X服从参数为(1,1/3)的二项分布，Y服从参数为(2,1/2)的二项分布，计算P{X=Y}需要分别考虑X和Y取相同值的三种情况：
当X=0且Y=0时：P{X=0} ...
4/5
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生答案：4/5
标准答案：4/5
理由：学生答案与标准答案完全一致，且计算过程（虽未展示）应基于概率论中条件概率的定义和事件独立性的性质。已知 \( P(A) = 2P(B) \)，\( P(A \cup B) = \frac{...
1/2
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生给出的答案是 \( \frac{1}{2} \)，而标准答案是 \( \frac{4}{5} \)。
首先，题目要求计算在 \( A, B \) 至少有一个发生的条件下，\( A, B \) 中恰有一个发生的概率，即条件概率 \( P(...
1/2
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生给出的答案是“1/2”。
首先，我们根据题意进行验算。已知：
A与B相互独立
P(A) = 2P(B)
P(A∪B) = 5/8
由独立性和加法公式：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)P(B)
设 ...
The bar chart above illustrates the dynamic changes in mobile-phone subscriptions across developing and developed countries between 2000 and 2008.
...
Dear Ms. White,
I am writing to express my sincere gratitude for your warm reception during my stay in America for the Sino-American cultural ex...
“承受力”在这些天已经变成一个热门词汇，但对Ted Ning来说，这个概念他有个人切身的体会。在经受过一段痛苦的难以承受的时期后，他清楚的认识到提高承受力的价值观只有通过每天的行动和选择才能表现出来。
Ning 回忆起在90年代后那段困惑的销售保险的时期。他经历了...
FTFTF
评分及理由
（1）得分及理由（满分2分）
学生答案：F，标准答案：F。答案正确。文章第一段明确指出"it would not require them to buy new aircraft"，说明斯坦福大学的研究发现并不需要购买新飞机，因此不会促进波音和空客新飞机的销售。得2...
评分及理由
（1）得分及理由（满分6分）
学生正确构造了矩阵关系，通过相似变换得到A与B相似，并正确计算了B的特征值（1,3,3）。在求特征向量时，对B的特征向量求解正确，并通过P变换得到A的特征向量（γ₁=-α₁+α₂+α₃对应λ=1，γ₂=α₁+α₂和γ₃=α₃对应λ=3）。整...
评分及理由
（1）泰勒展开部分（满分4分）
学生正确对f(x)在x=0处进行泰勒展开，并正确写出积分表达式。但在处理余项时存在问题，泰勒展开的余项应使用拉格朗日余项形式，且ξ应依赖于x，而学生直接写成ξ₁，这在严格意义上是不准确的。但由于后续计算中能正确使用，此处扣1分。得3分。
（2...
评分及理由
（1）利用轮换对称性化简积分（满分4分）
学生正确使用了轮换对称性，将原积分转化为两个对称形式的平均值，并正确推导出 \( I = \iint_D (x^2 + y^2 - xy) d\sigma \)。这一步思路正确，计算无误，得4分。
（2）变量代换处理（满分4分）
学...
评分及理由
（1）求偏导及驻点（满分4分）
学生正确计算了偏导数并令其为零，得到驻点条件 \(x^2=1\) 和 \(y=2z\)，并代入原方程求得四个驻点，与标准答案一致。此处得4分。
（2）二阶偏导数计算（满分4分）
学生对隐函数求导公式理解正确，但在计算二阶偏导数时存在逻辑错误。...
评分及理由
（1）得分及理由（满分6分）
学生正确分析了三种情况（x>0, x=0, x<0），并正确使用了极限和等价无穷小替换。在x<0时，正确使用t=e^{nx}代换并利用sin t ~ t - t^3/6得到正确结果；在x>0时，正确分析分子分母的阶数关系。最终得到的分段函数表达式完全正确。
得分：6分
（2）得分及理由（满分6分）
学生正确理解了旋转体体积的计算方法，使用柱壳法（绕y轴旋转体积公式V=2π∫x·f(x...
评分及理由
（1）a的得分及理由（满分2分）
学生正确得出a=1，推导过程与标准答案思路一致，虽然表达略有不同但逻辑正确。得2分。
（2）b的得分及理由（满分2分）
学生正确得出b=2，推导过程合理。得2分。
（3）c的得分及理由（满分6分）
学生在求c值时存在严重逻辑错误：
错误...
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生最终答案为3，与标准答案一致。虽然识别过程中出现了两次识别结果，但第二次识别结果为正确答案3。根据评分规则，只要有一次识别正确就不扣分。因此本题得5分。
题目总分：5分
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生作答为 $x\ln x$，标准答案为 $-x\ln x$。虽然学生答案与标准答案符号相反，但考虑到题目中给出的偏微分方程和边界条件 $f(1)=0$，通过计算可验证 $x\ln x$ 不满足原方程（代入后等式左侧为 $-2$ 而右侧为 $2y...
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生作答为：$(x - 1)y+2ye^{-x}$，与标准答案$(x - 1)y + 2y\text{e}^{-x}$完全一致。虽然学生答案中使用了$ye^{-x}$而标准答案是$2y\text{e}^{-x}$，但根据识别规则，这种细微的字符差...
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生作答的两次识别结果中，第二次识别结果为"480"，与标准答案完全一致。根据评分要求，只要有一次识别结果正确就不扣分。因此本题得5分。
题目总分：5分
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生给出的答案为“6 - 3π”，而标准答案为“20 - 6π”。这两个答案在数值上并不相等，且没有明显的等价关系（例如，学生答案的两倍是12 - 6π，与20 - 6π相差8）。因此，学生的答案在数值上是错误的。
考虑到这是一道填空题，...
评分及理由
（1）得分及理由（满分5分）
学生最终答案为“e”，与标准答案一致。虽然识别过程中可能存在一些无关信息（如“第1次识别结果：”等），但根据题目要求，这些属于识别问题导致的额外信息，不扣分。核心答案正确，因此得5分。
题目总分：5分
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