评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分5分） 第一部分：证明数列单调递减（2分）。学生正确指出在[0,1]上被积函数随n增大而减小，从而得出积分单调递减，这一部分思路正确，得2分。 第二部分：证明递推关系（3分）。学生尝试用分部积分法推导递推关系，但过程存在逻辑错误： 在计算A_n时，分部...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生正确识别了曲线与x轴的交点位于x=kπ处，并采用分段积分的方法计算面积，思路正确。在计算∫e⁻ˣsinxdx时得到了正确的不定积分形式-½e⁻ˣ(cosx+sinx)。 主要问题出现在第三步到第四步的推导： 第三步中"(-1)ᵏ⁺²"应为...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分5分） 学生答案中正确计算了偏导数 \(\frac{\partial z}{\partial x} = 2ax\) 和 \(\frac{\partial z}{\partial y} = 2by\)，并在点 (3,4) 处得到方向导数的表达式。学生正确指...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生正确求解了一阶线性微分方程，使用了常数变易法，得到通解形式，并利用初始条件确定常数C=0，最终得到正确解y(x)=xe^(-x²/2)。解题过程完整，与标准答案一致。得5分。 （2）得分及理由（满分5分） 学生正确计算了一阶导数y'=(1-...

2/3 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"2/3"，与标准答案一致。题目要求计算 \(P\{F(X) > EX - 1\}\)，其中 \(f(x) = \frac{x}{2}, 0 < x < 2\) 是概率密度函数。 解题思路应该是：先计算数学期望 \(EX = \int_0^2 x \cdot \frac{x}{2} dx = \frac{4}{3}\)，所以 \(EX - 1 = \frac{1}{3}\)。然后计算分布函数 \(F(x) = \int_0^x \frac{t}{2} dt = \frac{x^2}{4}, 0 < x < 2\)。问题转化为 \(P\{F(X) > \frac{1}{3}\}\)，即 \(P\{\frac{X^2}{4} > \...

评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为 $k(1, - 2,1)^T$，与标准答案 $x = k(1, -2, 1)^{T}$（$k \in R$）完全一致。虽然学生答案中未显式写出 $k \in R$，但填空题中通常默认 $k$ 为任意常数，且标准答案中 $k \i...

0 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为"0"，这是一个具体的数值答案。标准答案是\(\frac{32}{3}\)，约等于10.67。学生的答案0与标准答案完全不同，说明计算完全错误。 从解题思路来看，题目要求计算曲面积分\(\iint_{\sum} \sqrt{4 - x...

cos√x 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生作答为"cos√x"，这与标准答案"cos√x"完全一致。该答案正确地给出了级数在(0, +∞)内的和函数，表达形式正确，没有逻辑错误。根据评分要求，答案正确应给满分。 题目总分：4分

√(3(e∧x)-2) 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生答案：√(3(e^x)-2) 标准答案：√(3e^x - 2) 评分分析： 学生答案中使用了"e∧x"的写法，这可以理解为e的x次方，即e^x 答案形式与标准答案完全一致，都是√(3e^x - 2)...

x+y 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是"x+y"，而标准答案是"\(\frac{y}{\cos x} + \frac{x}{\cos y}\)"。 计算过程分析： 设 \(u = \sin y - \sin x\)，则 \(z = f(u) + xy\) 计算偏...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5.5分） 学生正确写出了似然函数，取对数后求导并令导数为零，得到了最大似然估计量 \(\hat{\beta} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|X_i|\)。这里学生将参数记为 \(\beta\) 而非题目中的 \(\sigma\...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生作答中第(Ⅰ)部分计算协方差的过程正确： 正确写出协方差公式：\(\text{Cov}(X,Z) = E(X^2Y) - E(X)E(XY)\) 利用独立性将\(E(X^2Y)\)分解为\(E(X^2)E(Y)\) 正确计算\(...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生正确得出A与B等价，通过秩相等得到r(B)=2，并通过对B进行初等行变换得到阶梯形，由非零行数得出a=2。过程与标准答案一致，逻辑正确。但学生在计算A的秩时写出的行变换结果有误（A变换后第三行应为非零行，但学生写成了零行），不过这不影响a的求...

评分及理由 （Ⅰ）得分及理由（满分5分） 学生作答中，对于第(Ⅰ)问，正确写出了f=0对应的方程组，并给出了系数矩阵A的初等行变换过程，得到了正确的阶梯形矩阵。在a≠2时得出只有零解，在a=2时得出通解形式k(-2,-1,1)^T，这与标准答案一致。 但学生在开头部分写"R(B)=3⇒a...

评分及理由 （1）证明数列单调性（满分约3分） 学生从递推式出发，错误地写成了 \(e^{x_{n+1}} - e^{x_n} = -1\)，这是对原递推式 \(x_n e^{x_{n+1}} = e^{x_n} - 1\) 的错误变形。由此错误推出的 \(x_{n+1} < x_n\) 虽然结论正确，但推导过程存在逻辑错误。因此，单调性证明部分不能给满分。但由于最终结论正确，且后续使用了正确形式 \(e^{x_{n+1}} = \frac{e^{x_n} - 1}{x_n}\) 进行了补充，可酌情给部分分数。扣2分，得1分。 （2）证明数列有下界（满分约3分） 学生正确指出 \(x_1 > 0\)，并通...

评分及理由 （1）得分及理由（满分5分） 学生正确使用了一阶线性微分方程的通解公式，并正确计算了积分。通解结果为 \( y = (x - 1) + Ce^{-x} \)，与标准答案 \( y = Ce^{-x} + x - 1 \) 等价。计算过程清晰，逻辑正确。得5分。 （2）得分及...

评分及理由 （1）补曲面步骤得分及理由（满分2分） 学生正确补上了曲面Σ₁: x=0（取后侧），并说明与Σ围成区域Ω，这一步与标准答案一致。得2分。 （2）高斯公式应用得分及理由（满分3分） 学生应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分，但被积函数识别有误：标准答案为(y³+2)dzdx，...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 本题主要考察在约束条件下多元函数极值的求解方法。学生的作答存在以下问题： 铁丝总长错误：题目中铁丝长度为2m，但学生误写为12m，这属于关键数据错误，导致后续所有计算都基于错误的前提。 面积函数构建：虽然面积表达式形式正确，但由于使用...

评分及理由 （1）得分及理由（满分10分） 学生作答识别结果不完整，无法看到具体的解题步骤。根据提供的两张识别图片，第一张完全空白，第二张只显示了题目而没有解答内容。由于无法评估学生的解题过程和结果，按照评分规则，这种情况应判定为未作答或作答无效。 根据考试评分标准，未作答的题目应得0分...

1/4 评分及理由 （1）得分及理由（满分4分） 学生给出的答案是1/4，与标准答案一致。题目要求计算P(C)，已知条件包括A与B独立、A与C独立、BC=∅（即B与C互斥）、P(A)=P(B)=1/2，以及条件概率P(AC|AB∪C)=1/4。通过条件概率公式和集合运算，可以推导出P(C)...